문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 위상 데이터분석 (문단 편집) == 단적복체를 사용한 분석 == 점들의 모임에서 단적복체를 만들어내는 법은 대표적으로 비에토리스-립스 복체 (Vietoris-Rips complex, or VR complex)와 체흐 복체 (Cech complex)가 있다. VR 복체는 계산이 빠르지만 기하학적 의미가 부정확하다는 단점이 있으며[* 원 위에서 점을 고른 후 VR 복체를 계산하면 모든 홀수차원의 구와 같은 호모토피 타입을 가질 수 있다. [[https://arxiv.org/abs/1410.4336|참조논문]].] 체흐 복체는 계산이 느리지만 기하학적 의미가 명확하다. 점들의 집합 [math(X = \{x_1, \cdots x_N\} \subseteq \mathbb R^d)]가 주어졌을때 역치 (threshold) r의 VR 복체는 [math(\|x_i - x_j\| < r)]인 점들 [math(x_i, x_j)]를 모두 이어서 그래프 [math(G_r)]를 만드는 것으로 시작한다. 이 후에는 [math(G_r)]의 모든 완전 부분그래프에 단체 (simplex)를 삽입함으로써 VR 복체 [math(\text{VR}_r(X))]가 완성된다. 즉, VR 복체 [math(\text{VR}_r(X))]는 [math(G_r)]에 넣을 수 있는 모든 단체를 있는대로 넣어서 만들어지는 복체이다. 위처럼 점들의 모임 [math(X)]가 주어졌을때, 체흐 복체 [math(\text{\v C}_r(X))]는 각 점 [math(x_i)]에서 반지름 [math(r)]짜리 구들 [math(B_i := \{y | \|x_i-y\| < r \})]들을 생각하고 [math(\bigcap_{i \in I} B_i \neq \emptyset)]이 되는 모든 집합 [math(I \subseteq \{1, \cdots N\})]에 대해 단체를 [math(\{x_i | i \in I\})]에 삽입함으로써 만들어진다. 신경 보조정리 (Nerve lemma)에 의해서 [math(\text{\v C}_r(X))]는 사실 구들의 합집합 [math(\bigcup_{i} B_i)]와 호모토피 동치 (homotopy equivalent)하다. 따라서 이와같은 구의 합집합과 호몰로지 군은 같으며, 직관적 의미는 간단하다. 여기서 [math(r\leq r')]이면 [math(\text{VR}_r(X) \subseteq \text{VR}_{r'}(X))]와 [math(\text{\v C}_r(X) \subseteq \text{\v C}_{r'}(X))]이 성립하므로 역치 r이 증가할수록 단체는 새로 삽입되기만 하고 사라지지 않는다는 사실에 주목하자. 즉, 위의 복체들은 여과(filtration)가 된다. 이 덕분에 역치 r은 일종의 해상도로 볼 수 있다. 두 복체는 다음과 같은 포함관계를 만족한다: [math(\text{\v C}_{r/2} \subseteq \text{VR}_r(X) \subseteq \text{\v C}_{r} )] '''첫번째 포함관계의 증명''': 두 점을 잡고 그사이의 거리에 반절에 해당하는 구를 두개 그리면 그 구들은 반드시 교차하기 때문에 [math(\text{\v C}_{r/2}(X))]의 그래프 부분 (1-skeleton)은 [math(\text{VR}_{r}(X))]의 그래프 부분과 정확히 일치한다. 한편, 위에서 설명했듯이 VR복체는 모든 단체를 있는대로 넣어서 만들어지기 때문에 포함관계가 성립한다. '''두번째 포함관계의 증명''': 만약 index의 모임 [math(I \subseteq \{1, \cdots N\})]가 VR복체에서 단체를 이룬다면, 모든 점들간의 거리가 r 이내인데, 이중 아무 점이나 고르면 이것이 I의 원소에 해당하는 점에 중심을 둔 반지름 r짜리 구들의 교집합에 들어간다. 따라서 포함관계가 성립한다. 위에서는 유클리드공간의 유한 부분집합에 대해서만 이 복체들을 설명했지만, VR복체는 임의의 거리공간(metric space)에 대해서 정의되며, 체흐복체는 거리공간 하나 (점들의 모임에 해당)와 이것이 포함된 더 큰 거리공간 (유클리드공간에 해당)이 주어졌을때 정의할 수 있는 더 일반적인 개념들이다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기